【arccosx的积分怎么算】在数学学习中，反三角函数的积分是一个常见但容易出错的知识点。其中，arccosx的积分是高等数学中一个典型的不定积分问题。本文将通过总结的方式，系统地介绍如何计算 arccosx 的积分，并以表格形式清晰展示整个过程。
一、arccosx 积分的基本思路
arccosx 是反余弦函数，其定义域为 $[-1, 1]$，值域为 $[0, \pi]$。要计算 $\int \arccos x\, dx$，通常采用分部积分法（Integration by Parts）。
分部积分公式为：
$$
\int u\, dv = uv - \int v\, du
$$
我们设：
- $u = \arccos x$
- $dv = dx$
那么：
- $du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$
- $v = x$
代入分部积分公式得：
$$
\int \arccos x\, dx = x \arccos x - \int x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) dx
$$
简化后：
$$
= x \arccos x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx
$$
接下来，对 $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ 进行求解。
二、$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ 的求解
令 $t = 1 - x^2$，则 $dt = -2x dx$，即 $x dx = -\frac{1}{2} dt$。
代入原式：
$$
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C
$$
三、最终结果
将上述结果代回原式：
$$
\int \arccos x\, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C
$$
四、总结与表格展示
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设 $u = \arccos x$, $dv = dx$ |
| 2 | 计算 $du = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$, $v = x$ |
| 3 | 应用分部积分公式：$\int \arccos x\, dx = x \arccos x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ |
| 4 | 对 $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ 进行换元法求解，得 $-\sqrt{1 - x^2}$ |
| 5 | 最终结果：$\int \arccos x\, dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$ |
五、注意事项
- 在实际应用中，常数项 $C$ 不可忽略。
- 若题目要求定积分，则需代入上下限进行计算。
- 反三角函数的积分往往需要结合换元法或分部积分法共同完成。
通过以上步骤和表格的整理，可以清晰地理解 arccosx 的积分 的推导过程。掌握这类积分方法，有助于提高解决复杂不定积分问题的能力。
